Matematik - Diğer ...

DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN TARİHSEL GELİŞİMİ

Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve entegral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar. Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D'Alembert. Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.

:: Newton ve Diferansiyel Denklem
İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar :

• Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

• İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x , y) tipinde olanlardır.

• Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır.

:: Leibniz ve Diferansiyel Denklem
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.

Leibniz'in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir. Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır.

:: Euler ve Diferansiyel Denklem
Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri ve:

(1-x⁴)-1/2dx + (1-y⁴)1/2dy = 0

şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

Euler'in Denklemi
a_i ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:

a₀x_ny_n + a₁x_n-1y_n-1 + ... + a_n-1 xy + a_n = q(x)

olan bu denklem, y'ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.

LİNEER CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ

Projektif transformasyonlar;, koordinatların lineer transformasyonları ile ifade olunmuşlardır. Şu halde, projektif geometriyi kavrayabilmek için geliştirilmiş lineer cebire ihtiyaç vardır. Bu gelişmeyi, Analyse Algenukus (1815) isimli eserinde, Cauchy ve determinantlar teorisinde de Jacobi verdiler. Jacobi'nin tezi ile aynı zamanda, Cayley'in ilk defa olarak, determinantların bir kare şeması tarzında, yazılışında kullanılan ve büyük önem taşıyan tezi intisar etti.

İngilizlerden; Cayley, Sylvester, Smith, Almanlardan; Kronecker, Frobenus ve Fransızlardan Hermite'nin beraber çalışmaları ile Lineer Cebir, yani matrislerle hesap yapma, Basit Bölenler Teorisi kuadratik formların transformasyonları gibi hesaplamalar, 1850 ile 1880 yılları arasında belirli bir seviyeye gelmişti

TASARI GEOMETRİNİN TARİHSEL GELİŞİMİ

Tarihin ilk zamanlarında bile, insanlar, konularını açıklamak ve tanımlamak için, bazı şekilleri zihinlerinde canlandırma yoluna gitmişlerdir. Çağımızda bu anlatım; teknik resim, perspektif, fotoğraf ve benzeri yollarla yapılmaktadır. Tasarı geometri üzerine ilk bilgiler, Fransız matematikçi Gaspard Monge tarafından ortaya konmuştur. Gaspard Monge, tasarı geometrinin ana ilkesi olan, dik izdüşüm metodu üzerind eçalışmalarda bulundu. 1795 yılında bu konuda, ilk kitabını yayınlamıştır. Böylece, cisimlerin grafik olarak gösterilmelerine ait temel prensipler ortaya atmış ve uzaysal teknik problemlerin de, çözümlenmelerini sağlamıştır. Matematik tarihi eserleri, Gaspard Monge için "Tasarı geometriyi kurmuş ve sistemleştirmiştir" şeklinde bahseder. Gaspard Monge; tasarı geometrinin konusunu ve temel amacını şöyle belirtmektedir: "Sadece iki boyutlu olan bir resim kağıdı üzerinde üç boyutlu ve tam doğru olarak, tabiatta belirli cisimleri temsil edebilmek ve eksiksiz bir tasvir ve tanımlama yapmak suretiyle cisimlerin şeklini tanımayı mümkün kılarak, şekillerinden ve karşılıklı konumlarından ileri gelme bütün gerçek bilgileri elde etmek.